为了达到最佳的预测效果，我们需要找到使得代价函数最小的参数。

还记得上一篇文章提到的代价函数么：

我们通过不断去调整参数θ0和θ1，最终找到让J(θ0 ,θ1)最小的参数。

如果直观来看，我们就像这样，一步一步地走下山：

走下山

具体是怎么实现的呢？

这里要提到一个算法：梯度下降（Gradient Descent）算法。

为了使得代价函数的结果越来越小，我们需要不断重复以下步骤：

来改变参数，以寻找使得代价函数最小的最优解。

需要注意的是，所有的参数θj必须同时更新，如：

同时更新

而下面这样的方式，是不正确的：

不同时更新

或者说已经不属于梯度下降算法的范畴，而是其他的算法了。

在这里，“:=”是赋值的含义，就是把等式右边的值赋予左边；α是学习的速率，代表着下山的脚步大小；后面这个是对代价函数的求导：

为什么通过这样的重复，可以找到最佳的参数呢？

为了方便理解，这里还是将θ0设置为0，也就是说，我们的预测函数为：

hθ(x1) = θ0 + θ1 xi = θ1 xi

那么对于θ1，我们需要重复的调整的步骤就是：

J(θ1)的代价函数大概是这样的：

代价函数曲线

对这样的代价函数求导，其实得到的，就是在某一个点的切线，也就是在该点的斜率。

斜率为正数

斜率为正，说明需要减去的是一个正数，θ1的值变小。

斜率为负数

斜率为负，说明需要减去了一个负数，也就是加上一个正数，θ1的值变大。

可以看到，两个图的绿点就是最低点。

因为斜率的原因，不管红点在绿点的左边还是右边，最终都会往绿点靠拢。

当到达最低点的时候，斜率为0，所以在这个位置，参数保持很定不变。

所以不管初始点设置在最低点的哪一边，在设置了合理的学习速率α的情况下，重复了这些步骤之后，最终都会往最低点汇聚。

为什么说是合理学习速率α呢？

因为如果学习速率α太大，那么有可能一直偏离，永远的去不到最低点。

如图，随着斜率的绝对值变大，脚步还越来越大，从距离低点最近的参数偏离得越来越远：

学习速率α太大

如果学习速率α太小，那么就需要很多的步骤，才能够找到最优解：

学习速率α太小

那么是否需要随着参数逐渐接近最优解的时候，降低学习速率α呢？

其实没有必要，你看一个在学习速率α固定的情况下，迈出的步子大概是这样的：

学习速率α固定

由于越接近最低点，斜率的绝对值就越小。

那么也就意味着即使学习速率恒定不变，由于斜率绝对值的不断变小，机器学习所走的脚步也会变得越来越小。

相信看到这里，你也对算法的原理有了个基本的理解。

下面是J(θ0 ,θ1)代入之后，得到的等式：

为什么两个等式会不同呢？

其中对于θ1求导数的过程如下：

求导过程

看完这个，你应该就能明白，之前代价函数为什么要乘以 1/2 了吧。

如果看不懂也没有关系，直接记住前面的等式就行了。

由于这样的梯度下降算法在整个训练过程中，每一步都去计算所有的训练样本，被命名为“批量梯度下降（batch gradient descent）”。

文章提前发布在**：止一之路